Question

已知函数y=

kx2-6kx+k+8

的定义域是R．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设k变化时，已知函数的最小值为f（k），求f（k）的表达式及函数f（k）的值域．

Answer 1

分析：（1）由函数y=

kx2-6kx+k+8

的定义域是R，知kx²-6kx+k+8≥0的解集是R，由此能求出实数k的取值范围．
（2）当k=0时，f（k）=

8

=2

2

；当k≠0时，kx²-6kx+k+8的对称轴x=3，f（k）=

9k-18k+k+8

=

8-8k

，由0＜k≤1，知0≤f（k）＜2

2

．由此能求出f（k）的表达式及函数f（k）的值域．

解答：解：（1）∵函数y=

kx2-6kx+k+8

的定义域是R，
∴kx²-6kx+k+8≥0的解集是R，
∴k=0或

k＞0 △=36 k 2-4k(k+8)≤0

，
即k=0或

k＞0 k2-k≤0

，
解得0≤k≤1．
故实数k的取值范围是{k|0≤k≤1}．
（2）当k=0时，f（k）=

8

=2

2

；
当k≠0时，kx²-6kx+k+8的对称轴x=3，
当x=3时，f（k）=

9k-18k+k+8

=

8-8k

，
∵0＜k≤1，
∴0≤f（k）＜2

2

．
综上所述，f（k）=

2 2 ，k=0 8-8k ，0＜k≤1

，
函数f（k）的值域为[0，2

2

]．

点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件合理地进行等价转化．