Question

如图所示，正方体的棱长为1，M、N分别是面对角线、上的点，且．

    （1）求证：MN∥面；

    （2）求证：MN⊥AD；

    （3）当为何值时，MN取得最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：过M作，垂足为R，则平面ABCD．连接RN，则，过M、N分别作垂足分别为Q、P．因为，所以，故MNPQ为平行四边形．所以从而．     平面．  (2)∵，∴由三垂线定理知．  (3)∵．．     ∴当时，．

提示：

(1)证明线面平行有两种基本方法，方法一：利用线面平行的判定定理；方法二：利用面面平行的性质．(2)要证，由(1)只须用三垂线定理即可．(3)几何最值问题常分两步，第一步求出目标解式：第二步根据目标解析式的结构特征求出最值．