Question

已知等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a4•a2n-4=102n，则数列lga1，2lga2，22lga3，23lga4，…，2n-1lgan，…的前n项和等于

（n-1）2ⁿ+1

．

Answer 1

分析：在等比数列{a_n}中，各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，得a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ；所以求出新数列的通项，进而利用错位相减法求出其和即可．

解答：解：∵等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，∴a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ，（n∈N^*）；
∴2^n-1•lga_n=2^n-1lg10ⁿ=n•2^n-1；
∴S_n=1+2•2¹+3•2²+…+n•2ⁿ …①，
2S_n=1+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ⁺¹ …②，
∴①-②得
-S_n=1+（2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ）
∴-S_n=

1×(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1，
故答案为：S_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：本题考查了等比数列前n项和公式的应用，也考查了指数与对数的运算法则；是考查基础知识，基本能力的计算题目．本题涉及到了错位相减法求数列的前n项和，这个方法是高考中常用的方法，同学们要熟练掌握它．