Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+a²x²+ax+b（a＞0），当x=-1时函数f（x）的极值为

2

3

，则f（2）=

29

3

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，根据当x=-1时函数f（x）的极值为

2

3

，有f^′（-1）=0，f(-1)=

2

3

，列方程组求出a，b的值，代入原函数解析式后课求f（2）的值．

解答：解：由f（x）=

1

3

x3+a²x²+ax+b（a＞0），得f^′（x）=x²+2a²x+a．
因为当x=-1时函数f（x）的极值为

2

3

，
所以

f′(-1)=1-2a2+a=0  ① f(-1)=- 1 3 +a2-a+b= 2 3 ②

，解①得：a=-

1

2

（舍），或a=1．
把a=1代入②得：b=1．
所以f（x）=

1

3

x3+x2+x+1．
所以f(2)=

1

3

×23+22+2+1=

29

3

．
故答案为

29

3

．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，需要注意的是极值点处的导数等于0，但导数为0的点不一定是极值点，属基础题．