Question

某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ(按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.

已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a²+3a、4a.

(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；

(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.

Answer 1

解析：(1)由概率分布的性质有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a²+3a+4a=1.

∴100a²+7a=0.3,

∴1 000a²+70a-3=0,a=,或a=- (舍去)，

即a=0.03,

∴100a²+3a=0.18,4a=0.12,

∴ξ的分布列为：

ξ	200	220	240	260	280	300
P	0.12	0.18	0.20	0.20	0.18	0.12

∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km).

Dξ=50²×0.12+30²×0.18+10²×0.20+10²×0.20+30²×0.18+50²×0.12=964;

(2)由已知η=3ξ-3(ξ＞3,ξ∈Z),

∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)，

Dη=D(3ξ-3)=3²Dξ=6 723