Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-mlnx，其中m＞0．
（1）若m=1，求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点处切线的斜率k≤2恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[1，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得，函数的定义域为（0，+∞）．
当m=1，f′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
函数y=f（x）的单调递减区间 （0，1）．
（2）f′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

≤2对任意的x∈（0，3]恒成立，
∴m≥x²-2x对任意的x∈（0，3]恒成立∴m≥（x²-2x）_max
而当x=3时，x²-2x取最大值为3，∴m≥3．
（3）f′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

=

(x- m )(x+ m )

x

，且m＞0f′(x)=0?x=

m

；
f′(x)＞0?x＞

m

，f′(x)＜0?0＜x＜

m

，
∴y=f（x）在(0，  

m

)上递减；
而在(

m

，  +∞)上递增．
∴y=f（x）在（0，+∞）上有极小值（也就是最小值）f(

m

)=

1

2

m-mln

m

=

1

2

m(1-lnm)，
若函数y=f（x）在[1，e]上有两个零点，
而f(1)=

1

2

，  f(e)=

1

2

e2-mlne=

1

2

e2-m，
∴

f(1)≥0 f(e)≥0 f( m )＜0 1＜ m ＜e

解得e＜m≤

1

2

e2，
实数m的取值范围  e＜m≤

1

2

e2．