Question

设公比小于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2n-1，求数列{b_n}的前n项T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知S3=a1+a1q+a1q2=-1-q-q²=-3，故q²+q-2=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由数列{b_n}满足b_n=a_n+2n-1，知T_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+[1+3+5+…（2n-1）]，由此能求出数列{b_n}的前n项T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵公比小于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃，
∴S3=a1+a1q+a1q2=-1-q-q²=-3，
∴q²+q-2=0，解得q=-2，或q=1（舍）．
∴an=(-1)•(-2)n-1．
（Ⅱ）∵数列{b_n}满足b_n=a_n+2n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（a₁+1）+（a₂+3）+（a₃+5）+…+[a_n+（2n-1）]
=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+[1+3+5+…（2n-1）]
=（-1）•

1×[1-(-2)n]

1-(-2)

+

n

2

[1+(2n-1)]
=-

1-(-2)n

3

+n²．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．