Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜

π

2

），若函数y=f（x）与x轴的任意两个相邻交点间的距离为

π

2

，
且直线x=

π

6

是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
（1）求ω的值；
（2）求y=f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）依题意求出函数的周期，利用周期公式求出ω；
（2）利用直线x=

π

6

是函数y=f（x）图象的一条对称轴．求出φ，得到函数的解析式，通过正弦函数的单调增区间，求出函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）通过x∈[-

π

6

，

π

3

]，求出ωx+φ的范围，然后求y=f（x）的值域．

解答：解：（1）函数y=f（x）与x轴的任意两个相邻交点间的距离为

π

2

，所以函数的周期是：T=π，所以ω=

2π

π

=2
（2）直线x=

π

6

是函数y=f（x）图象的一条对称轴，|φ|＜

π

2

，所以 φ=

π

6

，函数的解析式是：y=sin（2x+

π

6

）
因为2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z，所以，x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]k∈Z 所以函数的单调增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]k∈Z．
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]，所以2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
函数的值域为：[-

1

2

，1]

点评：本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，三角函数的基本性质，对称性、周期性、单调性、值域等等，考查计算能力，常考题型．