Question

已知函数f(x)=

1

x2

．
（1）求函数f（x）的定义域及判断函数的奇偶性；
（2）用单调性定义证明函数f（x）在（-∞，0）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由函数求得函数的定义域关于原点对称，再根据f（-x）=f（x），可得结论．
（2）设x₁＜x₂＜0，化简f（x₁）-f（x₂）的解析式，可得 f（x₁）-f（x₂）＜0，根据函数的单调性的定义可得结论．

解答：解：（1）由函数f(x)=

1

x2

，可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
故函数的定义域关于原点对称．
再根据f（-x）=

1

(-x)2

=

1

x2

=f（x），可得函数为偶函数．
（2）设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=

1

x12

-

1

x22

=

x22-x12

x12•x22

=

(x2+x1)(x2-x1)

x12•x22

，
由题设可得 x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，x12•x22＞0，
故

(x2+x1)(x2-x1)

x12•x22

＜0，
即 f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数在（-∞，0）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，函数的单调性判断和证明，属于中档题．