Question

已知函数f（x）=cos2x+asinx
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为-6，求实数a的值；
（Ⅲ）若a∈R，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，
由-1≤sinx≤1，得到-2≤f（x）≤2，
则函数f（x）的值域为[-2，2]，
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
∴f（x）_min=

a(a≤0) -a(a＞0)

，
∵f（x）的最小值为-6，
则a=±6；
（Ⅲ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
则f（x）_max=

-a(a＜-2) a2 4 +1(-2≤a≤2) a(a＞2)

．