Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；
（2）因为f（x）＜0在区间（0，

1

2

）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点，只要对任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，
则f′(x)=1-

2

x

，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，

1

2

）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点，只要对任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．
令l′(x)=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
则l′(x)=-

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 lnx -2

(x-1)2

，
再令m(x)=2lnx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），则m′(x)=-

2

x2

+

2

x

=

-2(1-x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上为减函数，于是m（x）＞m(

1

2

)=2-2ln2＞0，
从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，

1

2

）上为增函数，
所以l（x）＜l(

1

2

)=2-4ln2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点，则a的最小值为2-4ln2．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．