Question

15．已知函数f（x）=lnx-ax+1，且f（x）≤0恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 分离参数a，然后将问题转化为函数的最值问题求解，利用导数研究函数的单调性、极值、最终求出最值解决问题．

解答 解：由题意得x＞0，
所以要使原式成立，只需$a≥\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}$，（x＞0）恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}，x＞0$，
则$g′（x）=\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{-lnx}{{x}^{2}}，x＞0$．
由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1．
所以x=1是函数g（x）唯一的极大值点，也是最大值点．
所以要使原式成立，只需a≥g（x）_max=g（1）=1．
故所求a的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了不等式恒成立时求字母取值范围的问题，一般先分离参数，然后构造函数，利用导数求函数的最值即可．