Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1化简整理得

an

an-1

=

1

2

，进而可以推断数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案．
（Ⅱ）把（1）中求得a_n代入b_n=（2n-1）a_n中求得b_n，进而通过错位相减法求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1
∴3a_n=5a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）
∴

an

an-1

=

1

2

，（n≥2，n∈N^*），
所以数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n=2^2-n
（Ⅱ）b_n=（2n-1）•2^2-n
∴T_n=1×2+3×2⁰+5×2^-1++（2n-1）•2^2-n
同乘公比得

1

2

Tn=1×20+3×2-1+5×2-2++(2n-1)•21-n
∴

1

2

Tn=1×2+2×20+2×2-1+2×2-2++2•22-n-(2n-1)21-n
=2+4[1-(

1

2

)n-1]-(2n-1)•21-n
∴T_n=12-（2n+3）•2^2-n．

点评：本题主要考查了数列的递推式．对于由等比数列和等差数列构成的数列常可用错位相减法求得前n项和．