Question

数列的前n项和．
（1）求证：数列是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}对任意恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对数列递推式进行变形，即可证明数列是等比数列，从而可求其通项，进而可求{b_n}的通项公式；
（2）先求出数列的和，再利用分离参数法，证明数列的单调性，即可求得实数k的取值范围．
解答：（1）证明：对任意n∈N^*，都有，所以…（1分）
则数列成等比数列，首项为，公比为…（2分）
所以，
∴…（4分）
（2）解：因为
所以…（6分）
因为不等式，化简得对任意n∈N^*恒成立…（7分）
设，则…（9分）
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵，，∴c₄＜c₅，∴n=5时，c_n取得最大值…（11分）
所以，要使对任意n∈N^*恒成立，…（12分）
点评：本题考查数列的递推式，考查构造法证明等比数列，考查恒成立问题，解题的关键是分离常数，确定数列的最值．