Question

已知函数．
（I）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先对函数进行求导运算，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减，可求得单调区间．
（2）将将函数f（x）的解析式代入，可将问题转化为不等式对于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+后进行求导，根据导函数的正负情况判断函数的单调性进而可得到函数g（x）的最小值，从而得到答案．
（3）将函数f（x）与的图象有公共点转化为有解，再由y=lnx与在公共点（x，y）处的切线相同可得到同时成立，进而可求出x的值，从而得到m的值．
解答：解：（Ⅰ）可得．
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当e＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
（Ⅱ）依题意，转化为不等式对于x＞0恒成立
令g（x）=lnx+，则g'（x）=
当x＞1时，因为g'（x）=＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函数，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的减函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（-∞，1）．
（Ⅲ）转化为，y=lnx与在公共点（x，y）处的切线相同
由题意知
∴解得：x=1，或x=-3（舍去），代入第一式，即有．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．