Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为

3

，以定点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的各个表面相交所得到的弧长之和为

 

．

Answer 1

分析：球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和，从而求出球面与正方体的各个表面相交所得到的弧长之和．

解答：解：如图，球面与正方体的六个面都相交，
所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA₁=

3

，
则∠A₁AE=

π

6

．同理∠BAF=

π

6

，所以∠EAF=

π

6

，
故弧EF的长为：2×

π

6

=

π

3

，
而这样的弧共有三条．
在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=

π

2

，
所以弧FG的长为：1×

π

2

=

π

2

．
这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为：
3×

π

3

+3×

π

2

=

5π

2

．
故答案为：

5π

2

．

点评：本题主要考查了立体几何，以及弧长公式的运用，同时考查了空间想象能力，属于中档题．