Question

【题目】某环境保护部门对某处的环境状况用“污染指数”来监测，据测定，该处的“污染指数”与附近污染源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数，现已知相距的两家化工厂（污染源）的污染强度分别为1和，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和，设；

（1）试将表示为的函数，指出其定义域；

（2）当时，处的“污染指数”最小，试求化工厂的污染强度的值；

Answer 1

【答案】(1) ， ; (2)

【解析】

（1）设点受污染源污染程度为，点受污染源污染程度为，其中为比例系数，且，则点处受污染程度是二者之和，定义域为.
（2）因为 ，所以 ，令 ，得．

(1) 设点受污染源污染程度为，

点受污染源污染程度为.取值为比例系数且.
所以点点处受污染程度为，.

(2)由，所以，

当时，处的“污染指数”最小，

即时，函数取得最小值.

由，则函数的最小值一定是对应的极小值点.

令，由，解得.

当时，.

函数在上单调递减，在上单调递增，满足条件.

所以.