Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且点P（0，1）在C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l的斜率为2且经过椭圆C的左焦点．求直线l与该椭圆C相交的弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆C的左焦点为F₁（-1，0），知c=1，点P（0，1）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线l的方程为y=2x+2，由

x2 2 +y2=1 y=2x+2

，得9x²+16x+6=0，由此能求出直线l与该椭圆C相交的弦长．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

1

b2

=1，即b=1，
所以a²=b²+c²=2，所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）直线l的方程为y=2x+2，

x2 2 +y2=1 y=2x+2

，
消去y并整理得9x²+16x+6=0，
∴x1+x2=-

16

9

，x1x2=

6

9

，
|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 2

9

．
∴直线l与该椭圆C相交的弦长为

10 2

9

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用．