Question

已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(

1

a1

+

1

a2

)，a3+a4=32(

1

a3

+

1

a4

)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

a

2 n

•log2an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意，化简已知可得a₁a₂=2，a₃a₄=32，两式相比可得公比，进而得首项，易得通项公式；
（2）结合（1）可得数列{b_n}的通项公式，由错位相减法可求和．

解答：解：（1）∵a1+a2=2(

1

a1

+

1

a2

)=2×

a1+a2

a1a2

，
a3+a4=32(

1

a3

+

1

a4

)=32×

a3+a4

a3a4

，
又因为数列{a_n}各项均为正数．
∴a₁a₂=2，a₃a₄=32，
∴q4=

a3a4

a1a2

=16，∴q=2
又a₁a₂=a₁•a₁q=2，∴a₁=1
∴an=a1qn-1=2n-1
（2）由（1）可知an=2n-1，
∴bn=an2•log2an
∴bn=4n-1•(n-1)
∴Sn=0×40+41+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1  ①
4Sn=0×41+42+2×43+…+(n-2)4n-1+(n-1)•4n   ②
①-②得：-3Sn=4+42+43+…+4n-1-(n-1)•4n
=

4(1-4n-1)

1-4

-(n-1)•4n
∴Sn=

(3n-4)

9

•4n+

4

9

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及错位相减法求和，属中档题．