Question

已知三棱锥S-ABC的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：
①BC⊥平面SAC；
②平面SBC⊥平面SAB；
③平面SBC⊥平面SAC；
④三棱锥S-ABC的体积为

1

2

．
其中所有正确命题的个数为（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根据题意画出图形，①由线面垂直的判定定理即可推出BC⊥平面SAC；
②显然错误；
③由①及面面垂直的判定定理可推出平面SBC⊥平面SAC；
④由三棱锥的体积公式，代入数据即可得到三棱锥S-ABC的体积．

解答：解：由几何体的三视图可知，在三棱锥S-ABC中，SA⊥面ABC，AC⊥BC，且SA=1，AB=3，C到AB的距离为1，如下图示

①∵SA⊥面ABC，BC?面ABC，∴SA⊥BC
又∵BC⊥AC，SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC；
②显然错误；
③由①可知BC⊥平面SAC，BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAC；
④由题意知，三棱锥S-ABC的体积为V=

1

3

×SA×S△ABC=

1

3

×1×

1

2

×3×1=

1

2

．
故答案为 B．

点评：本题考查棱锥的结构特征，考查学生发现问题解决问题的能力，射影定理的应用等，是中档题．