Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1•an=n，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4的值，并证明：an+2=

1

an+1

+an； 
（2）证明：2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1．

Answer 1

分析：（1）由已知令n=2，3，4代入即可求得a₂，a₃，a₄的值，对

1

an+1

+an通分再用已知即可证明；
（2）先证2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，由（1）知

1

an

=a_n+1-a_n-1，

1

an-1

=an-an-2，…，

1

a3

=a4-a2，

1

a2

=a3-a1，

1

a1

=1，将各式相加再用基本不等式即可证明；再证

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1，先证

3- 5

2

n

≤a_n≤

3+ 5

2

n-1

（n≥2，n∈N^*），用数学归纳法即可证明，n=1时单独检验即可，综上即可得到结论；

解答：解：（1）由题意得a2=

1

a1

=1，a3=

2

a2

=2，a4=

3

a3

=

3

2

，下面证明：an+2=

1

an+1

+an，

1

an+1

+an=

1+anan+1

an+1

=

n+1

an+1

=a_n+2；
证明：（2）先证2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，
由（1）知

1

an

=a_n+1-a_n-1，

1

an-1

=an-an-2，…，

1

a3

=a4-a2，

1

a2

=a3-a1，

1

a1

=1，
将以上式子相加得：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1+a_n-a₂-a₁+1=a_n+1+a_n-1≥2

an+1an

-1=2

n

-1；
为证

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1，先证

3- 5

2

n

≤a_n≤

3+ 5

2

n-1

（n≥2，n∈N^*），
用数学归纳法：
①当n=2时，a₂=1，结论显然成立；
②假设n=k时，

3- 5

2

k

≤a_k≤

3+ 5

2

k-1

成立，
则当n=k+1时，由a_k+1a_k=k⇒a_k=

k

ak+1

，
由归纳假设有

3- 5

2

k

≤a_k≤

3+ 5

2

k-1

⇒

3- 5

2

•

k

k-1

≤a_k+1≤

3+ 5

2

k

，
因为

k

k-1

≥

k+1

，所以

3- 5

2

k+1

≤a_k+1≤

3+ 5

2

k

也成立，
综上，

3- 5

2

n

≤a_n≤

3+ 5

2

n-1

＜

3+ 5

2

n

（n≥2，n∈N^*），
所以，当n≥2时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1+a_n-1=

n

an

+a_n-1＜

n

3+ 5 2 n

+

3+ 5

2

n

-1=3

n

-1，
又n=1时，显然有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1成立，
综上所述，2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查递推式的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，能力要求高．