Question

已知函数f(x)=

lgx      x≥ 3 2 lg(3-x)   x＜ 3 2

，若函数y=f（x）-k无零点，则实数K的取值范围是

（-∞，lg

3

2

）

．

Answer 1

分析：利用函数y=f（x）的单调性求出函数的最小值，由题意可得，函数y=f（x）的图象与直线y=k无交点，故k＜lg

3

2

．

解答：解：∵函数f(x)=

lgx      x≥ 3 2 lg(3-x)   x＜ 3 2

，故函数f（x）在[

3

2

，+∞）上是增函数，在（-∞，

3

2

]上是减函数．
故当x=

3

2

时，f（x）有最小值为lg

3

2

．
由题意可得，函数y=f（x）的图象与直线y=k无交点，∴k＜lg

3

2

．
故实数K的取值范围是（-∞，lg

3

2

 ），
故答案为（-∞，lg

3

2

 ）．

点评：本题考查函数零点的定义，函数的单调性以及最小值，体现了转化的数学思想，属于基础题．