Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，b），=（b，c）．
（1）若向量，求满足的角B的值；
（2）若=2b²，且A-C=，求cosB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由两个向量平行的坐标表示求出a、b、c的关系，借助于余弦定理求出角B的取值范围，最后根据等式求出角B的值；
（2）把两个向量的坐标代入=2b²，找出a、b、c的关系，然后运用正弦定理转化为角的关系，再借助于三角形内角和定理把角都转化为角B，先求出后，运用二倍角的余弦可求cosB．
解答：解：（1）∵，，，∴b²=ac，
∴，当且仅当a=c时取等号，∵0＜B＜π，∴．
由得：，
∵，
∴，
∴B=．
（2）在△ABC中，∵A-C=，A+C=π-B，∴，，
∵，∴a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB，
∴，展开化简，得：，
∵，∴sin=，
∴cosB=1-．
点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标表示、模及夹角，考查了平面向量共线的条件，考查了转化思想，解答此题的关键是借助于正弦和余弦定理进行边和角的互化，是中等难度问题．