题目内容

设函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y），又f'（0）=1，则函数f（x）的解析式为________．

$\text{[math]}$
分析：可令y=1可得f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x然后分别赋予x为1，2，3…，（x-1）将这（x-1）个式子相加再结合1²+2²+…+（x-1）²= $\text{[math]}$ 可得f（x）=xf（1）+ $\text{[math]}$ 下面只需求出f（1）即可求解而f'（0）=1，两边求导即可求出f（1）= $\text{[math]}$ 再代入即可求出f（x）．
解答：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y）
∴令y=1则f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x
∴f（2）-f（1）=f（1）+1²+1
f（3）-f（2）=f（1）+2²+2
…
f（x）-f（x-1）=f（1）+（x-1）²+（x-1）
∴将上面（x-1）个式子相加可得f（x）-f（1）=（x-1）f（1）+[1²+2²+…+（x-1）²]+（1+2+3+…+（x-1））
∴f（x）=xf（1）+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =xf（1）+ $\text{[math]}$
∴f^′（x）=f（1）+ $\text{[math]}$
∵f'（0）=1
∴f（1）- $\text{[math]}$ =1
∴f（1）= $\text{[math]}$
∴f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为f（x）= $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了函数解析式的求解，由于用到了利用递推公式和叠加法以及1²+2²+…+（x-1）²= $\text{[math]}$ ①再加上导数的应用，综合性较强难度较大．解题的关键是利用y=1得出f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x再利用叠加法结合公式①得出f（x）=xf（1）+ $\text{[math]}$ ！