Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若b、c满足c≥

b2

4

+1，且f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，则M的最小值为______．

Answer 1

∵c≥

b2

4

+1≥2×

|b|

2

×1知，c≥|b|，
当c＞|b|时，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

，则-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

1+t

，
∵函数g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1）为增函数，
∴该函数的值域是（-∞，

3

2

）；
∴当c＞|b|时，M的取值集合为[

3

2

，+∞）；
当c=|b|时，由c≥

b2

4

+1知，b=±2，c=2，此时f（c）-f（b）=-8或0，
c²-b²=0，从而f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立；
综上所述，M的最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．