Question

已知函数f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
（I）求函数f（x）的最小正周期； 
（II）求函数f(x)在x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：把f（x）的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（I）找出正弦函数中的λ，根据周期公式T=

2π

λ

即可求出最小正周期；
（II）由x的范围，求出这个角的范围，然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．

解答：解：f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
=-

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，
（I）T=

2π

2

=π
（II）∴0≤x≤

π

2

，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
所以f（x）的值域为：[-

3

，

2- 3

2

]

点评：此题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的值域．根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．