题目内容
设函数f（x）=
x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的单调区间；
（3）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|≤
．
| a |
| 3 |
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的单调区间；
（3）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|≤
| 44 |
| 3 |
（1）f′（x）=ax2+2bx+4c由条件可得b=d=0，f'（1）=-6，f′（2）=0
∴a+4c=-6，4a+4c=0 解得 a=2，c=-2
故a=2，b=0，c=-2，d=0．′（4分）
（2）∵f（x）=
x3-8x，∴f'（x）=2x2-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f′（x）＜0得-2＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间为（和[2，+∞）；f（x）的单调减区间为[-2，2]．（8分）
（3）证明：由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减
∴当x∈[-1，1]时 f（1）≤f（x）≤f（-1）即-
≤f（x）≤
亦即|f（x）|≤
故当x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）|≤
，|f（x2）|≤
．
从而|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤
+
=
即|f（x1）-f（x2）|≤
．…（5分）
∴a+4c=-6，4a+4c=0 解得 a=2，c=-2
故a=2，b=0，c=-2，d=0．′（4分）
（2）∵f（x）=
| 2 |
| 3 |
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f′（x）＜0得-2＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间为（和[2，+∞）；f（x）的单调减区间为[-2，2]．（8分）
（3）证明：由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减
∴当x∈[-1，1]时 f（1）≤f（x）≤f（-1）即-
| 22 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
故当x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）|≤
| 22 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
从而|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤
| 22 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
| 44 |
| 3 |
即|f（x1）-f（x2）|≤
| 44 |
| 3 |
练习册系列答案
赢在课堂名师课时计划系列答案
天天向上课时同步训练系列答案
相关题目