Question

（2012•杭州二模）函数f(x)=sin(x+

π

2

)cosx(x+

π

6

)的单调递减区间是

[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)

．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦公式，二倍角公式，化简函数的解析式为

3

4

+

1

2

cos（2x+

π

6

），令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈z，
求得x的范围，即可得到函数的单调递减区间．

解答：解：函数f(x)=sin(x+

π

2

)cosx(x+

π

6

)=cosx•（

3

2

cosx-

1

2

sinx）=

3

2

cos²x-

1

2

•sinxcosx
=

3

2

×

1+cos2x

2

-

1

4

sin2x=

3

4

+

1

2

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=

3

4

+

1

2

cos（2x+

π

6

），
令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈z，
故函数的单调递减区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z，
故答案为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性，属于中档题．