Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）f（-x），求函数g（x）的最小正周期和最大值；

Answer 1

分析：（I）由于

π

4

是一个特殊角，故可以直接将其代入函数f（x）=sinx+cosx直接求值．
（II）由题设g（x）=f（x）f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，由公式求T与最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题设f(

π

4

)=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

2

+

2

2

=

2

；（4分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）f（-x）
=（sinx+cosx）[sin（-x）+cos（-x）]
=（sinx+cosx）（-sinx+cosx） （6分）
=cos²x-sin²x=cos2x （8分）
∵T=

2π

2

=π，g（x）的最小正周期为π．（10分）
又-1≤cos2x≤1，
因此，函数g（x）的最大值是1．（12分）

点评：本题的考点是三角函数的最值，考查了求函数的值，函数的奇偶性，以及用二倍角公式化简，根据函数的表达式求周期与最值．
 本题的难度不大，考查三角函数中的基础知识．