Question

对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且

    （1）求函数的解析式；

    （2）已知各项不为零的数列，求数列通项；

    （3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.

Answer 1

（1）（2）（3）证明见解析

解析:

（1）依题意有,化简为 由违达定理, 得

               

解得 代入表达式，由

得 不止有两个不动点，

   

（2）由题设得     （*）

且          （**）

由（*）与（**）两式相减得：

   

   

解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；

  （3）采用反证法，假设则由（1）知

,有

，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.

    关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:

    由得<0或

    结论成立；

  若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.