Question

如图，一水渠的横断面是抛物线形，O是抛物线的顶点，口宽EF=4米，高3米
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线方程．
（2）现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大时，所挖的土最少？

Answer 1

分析：（1）如图以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，此模型是一个开口向上的抛物线，由题设条件求出其方程即可
（2）求出抛物线的切线，表示成梯形上下底的宽度，利用面积公式表示出梯形的面积，再根据所得的解析式，求出面积的最小值，求出面积最小时AB的宽度即可

解答：解：（1）解：如图以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，
则F（2，3），设抛物线的方程是x²=2py（p＞0）
因为点F在抛物线上，所以4=2p×3，p=

2

3

所以抛物线的方程是x2=

4

3

y（5分）
（2）解：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，线段AB的中点O是抛物线的顶点，AD，AB，BC分别与抛物线切于点M，O，N
y'=

3

2

x，设N（x₀，y₀），x₀＞0，，
则抛物线在N处的切线方程是y-y₀=

3

2

x0(x-x0)，所以B(

1

2

x0，0)C(

4+x0 2

2x0

，3)，（10分）
梯形ABCD的面积是S=

1

2

(x0+

4+x0 2

2x0

)×3=

3

2

(2x0+

4

x0

)=3(x0+

2

x0

)≥6

2

，等号当且仅当x0=

2

时成立，
答：梯形ABCD的下底AB=

2

米时，所挖的土最少（12分）

点评：本题考查抛物线方程的应用，解题的关键是根据抛物线的方程将实际问题的量表示出来，本题是建立面积的函数表达式再根据实际情况求出最值成立时的条件．本题数形结合，运算量颇大，做题时要严谨，认真，避免运算变形出错导致解题失败．