Question

在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若lga-lgb=lgcosB-lgcosA．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若a、b满足：函数y=ax+3的图象与函数y=

1

3

x-b的图象关于直线y=x对称，求边长c．

Answer 1

分析：（1）由lg

a

b

=lg

cosB

cosA

及正弦定理得

a

b

=

cosB

cosA

=

sinA

sinB

，则可得sin2A=sin2B，结合三角函数的性质可判断
（2）由题意可得y=ax+3的反函数y=

1

a

x-

3

a

与函数y=

1

3

x-b重合，可求a，b，解答（1）的直角三角形利用勾股定理可求c

解答：解：（1）由lg

a

b

=lg

cosB

cosA

得 

a

b

=

cosB

cosA

=

sinA

sinB

，于是
sin2A=sin2B   …（4分）
所以三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．  …（6分）
（2）因为y=ax+3的反函数y=

1

a

x-

3

a

与函数y=

1

3

x-b重合，所以a=3，b=1                  …（10分）
由（1）可知△ABC为直角三角形
从而 c=

10

…（12分）

点评：本题主要考查了利用正弦定理解三角形，互为反函数的图象关于y=x对称的知识的综合应用，解（1）得到sin2A=sin2B时，注意可得2A=2B或2A+2B=180°，但若是sinA=sinB时只能得到a=B，要注意区别两种情况的不同