Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期为

2

3

π，最小值为-2，图象过点(

5

9

π，0)．
（1）求f（x）的解析式；      
（2）求满足f（x）=1且x∈[0，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期为

2

3

π，最小值为-2，我们根据函数的周期与ω的关系，最值与A的关系，求出A与φ，再由图象过点(

5

9

π，0)，即可求出φ值，进而得到f（x）的解析式；      
（2）由（1）中函数的解析式，我们可以构造满足条件f（x）=1的三角方程，解方程即可得到满足条件的区间[0，π]上的x的集合．

解答：解：（1）由题意：A=2，T=

2π

ω

=

2π

3

，故ω=3．（4分）
又图象过点(

5

9

π，0)，代入解析式中，sin(3×

5π

9

+φ)=0
因为|φ|＜

π

2

，故φ=

π

3

，f(x)=2sin(3x+

π

3

)（7分）
（2）由f(x)=1?2sin(3x+

π

3

)=1?3x+

π

3

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，k∈Z
解得x=

2

3

kπ-

π

18

或x=

2

3

kπ+

π

6

，k∈Z（12分）
又x∈[0，π]，所以满足题意的x的集合为{x|x=

11π

18

或x=

π

6

或x=

5π

6

}（14分）

点评：本题考查的知识点是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，正弦型函数的图象和性质，其中熟练掌握正弦型函数的性质与参数的关系，是解答本题的关键．