Question

（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.
（Ⅰ）求f(x)的最大值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足：a_n+1= 2f' (a_n) +2,且a₁=2.5，= b_n,
⑴数列{ b_n+}是等比数列    ⑵判断{a_n}是否为无穷数列。
（Ⅲ）对n∈N*,用⑴结论证明：ln(1++)<;

Answer 1

（Ⅰ）极大值为f(0)=0，也是所求最大值；
（Ⅱ）（1）略
（2）数列{a_n}为无穷数列，证明略。
（Ⅲ）ln(1++)<，证明略。

⑴x>-1, f'(x)= -1=,

x	(-1,0)	0	(0,+∞)
f'(x)	+	0	-
f(x)	↗	极大值	↘

∴极大值为f(0)=0，也是所求最大值；……………………4分
（Ⅱ）a_n+1=，∴a_n+1-1=，∴=-1-，……………………5分
则b_n+1=-2 b_n-1, ∴b_n+1+=-2(b_n+), b₁+="1,"
∴数列{ b_n+}是首项为1，公比为-2的等比数列，…………………7分
∴b_n+=(-2)^n-1, ……………………8分
∴a_n=+1=+1，……………………9分
明显a₁=2.5>-1，n≥2时(-2)^n-1-<-2, ∴a_n>0>-1恒成立，
∴数列{a_n}为无穷数列。……………………11分
（Ⅲ）由⑴ln(1+x) ≤x，∴ln(1++)< ln(1+)³……………………12分
="3" ln(1+)≤3×=成立。        ………14分