Question

如图P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：

（1）PA=EF；（2）PA⊥EF.

Answer 1

证明：建立如上图所示的坐标系，设正方形的边长为1，||=λ，则A（0，1），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0），

∴=（-λ，1-λ），=（λ-1，-λ）.

（1）∵||²=（-λ）²+（1-λ）²=λ²-+1，

||²=（λ-1）²+（-λ）²=λ²-+1，

∴||²=||²，故PA=EF.

(2)∵·=（-λ）（λ-1）+（1-λ）·(-λ)=0,∴⊥,即PA⊥EF.