Question

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝．……………… 3分

则V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． ∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．       ……… 11分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．

【解析】略