题目内容
已知函数f（x）=sinx+cosx，F（x）=f'（x）[f（x）+f'（x）]-1，f'（x）是f（x）的导函数．
（I）若tanx=
，求F（x）的值；
（Ⅱ）求F（x）的单调减区间．
（I）若tanx=
| 1 | 3 |
（Ⅱ）求F（x）的单调减区间．
分析：（I）可求得f'（x）=cosx-sinx，于是，可求得F（x）=
cos（2x+
），再由tanx=
可求得cos2x，sin2x利用两角和的余弦即可求得F（x）的值；
（Ⅱ）由于F（x）=
cos（2x+
），利用余弦函数的单调性即可求得F（x）的单调减区间．
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）由于F（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：∵f（x）=sinx+cosx，
∴f'（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f'（x）[f（x）+f'（x）]-1
=（cosx-sinx）（sinx+cosx+cosx-sinx）-1
=2cos2x-sin2x-1
=1+cos2x-sin2x-1
=
cos（2x+
），
∵tanx=
，
∴cos2x=cos2x-sin2x=
=
=
，
同理可求sin2x=
=
，
∴F（x）=
cos（2x+
）=
（cos2xcos
-sin2xsin
）=
．
（Ⅱ）∵F（x）=
cos（2x+
），
∴由2kπ≤2x+
≤2kπ+π得：kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z），
即：x∈[kπ-
，kπ+
]（k∈Z），
此即F（x）的单调减区间．
∴f'（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f'（x）[f（x）+f'（x）]-1
=（cosx-sinx）（sinx+cosx+cosx-sinx）-1
=2cos2x-sin2x-1
=1+cos2x-sin2x-1
=
| 2 |
| π |
| 4 |
∵tanx=
| 1 |
| 3 |
∴cos2x=cos2x-sin2x=
| cos2x-sin2x |
| cos2x+sin2x |
| 1-tan2x |
| 1+tan2x |
| 4 |
| 5 |
同理可求sin2x=
| 2tanx |
| 1+tan2x |
| 3 |
| 5 |
∴F（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）∵F（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴由2kπ≤2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
即：x∈[kπ-
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
此即F（x）的单调减区间．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求得F（x）=
cos（2x+
）是解题的关键，突出考查同角三角函数间的基本关系的灵活应用，属于中档题．
| 2 |
| π |
| 4 |
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