Question

一个空间用n个平面去划分,最多能被分成几部分?

      

Answer 1

解:借鉴移植例6的递推法,利用例6的结果,分析探求如下:?

在空间只有当仅仅三个平面才能交于一点(就是说,四个以上平面不能交于一点)以及三个或三个以上的平面产生的交线互不平行的时候,用n个平面去划分空间,才能使分得的空间块的数目最多.因此,在后面的分析中,我们假设的这些条件都是满足的.用V_n表示由n个平面去划分空间时所得空间块的数目.?

       类比例6,考查增加一个平面,可以把空间多分割出几个空间块,由于第n个平面与前n-1个平面相交,因此第n个平面上就有n-1条交线,这些交线满足例6的假定条件,因此,根据例6的结论可知第n个平面被n-1条直线分成个平面块,而每个平面块把它所在的那个空间块一分为二,于是增加了个空间块.因此得到递推公式V_n=V_n-1+.?

       在上式中分别令n=1,2,…,n,可得n个等式?

       V₁=1+1=1+,?

       V₂=V₁+,?

       V₃=V₂+,?

       ……?

       V_n=V_n-1+.?

       以上n个等式相加,可得?

       V_n=1+(1²+2²+…+n²)- (1+2+…+n)+n?

       =1+·.?

       故一个空间用n个平面去划分,最多能被分成(n³+5n+6)个空间块.?

       温馨提示:在我们临场解题遇到困难时,往往退一步,可设法先解答一个比原问题简单化的类比题.简化的办法是或减小已知数据,或减少字母个数,或简化问题条件等等.简化类比题一般眉目清楚,容易找出解题思路,然后进一步充分利用解简化题的信息——思路、方法、结果等,从而形成解答原问题的有用的解题思路,或找到一种可以借鉴、移植的方法.