题目内容
已知函数f(x)=2sin(
x+
)
（1）写出此函数f（x）的周期、值域；
（2）求出f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（3）比较f（
）与f（
）的大小．
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（1）写出此函数f（x）的周期、值域；
（2）求出f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（3）比较f（
| π |
| 7 |
| π |
| 5 |
分析：（1）利用三角函数的周期公式，算出f（x）的周期T=4π．再由正弦函数的最大值为1、最小值为-1，即可得出函数f（x）的值域．
（2）由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式，算出f（x）在R上的增区间为[-
+2kπ，
+2kπ]（k∈Z），再取k=0，将得到的区间与[0，2π]求交集，可得f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．
（3）由
＜
为区间[0，
]内的数，利用（2）的结论可得f（
）与f（
）的大小关系．
（2）由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式，算出f（x）在R上的增区间为[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（3）由
| π |
| 7 |
| π |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 7 |
| π |
| 5 |
解答：解：（1）∵函数f(x)=2sin(
x+
)中ω=
，
∴函数f（x）的周期T=
=4π，
又∵sin(
x+
)的最大值为1，最小值为-1，
∴f(x)=2sin(
x+
)的最大值为2，最小值为-2，可得函数的值域为[-2，2]．
（2）令
x+
=z，
∵函数y=sinz的单调递增区间[-
+2kπ，
+2kπ]（k∈Z），
∴由-
+2kπ≤z≤
+2kπ，即-
+2kπ≤
x+
≤
+2kπ，
解之得-
+4kπ≤x≤
+4kπ（k∈Z），
设A=[0，2π]，B=﹛x|-
+4kπ≤x≤
+4kπ，k∈Z﹜
取k=0，得B=[-
，
]，可得A∩B=[0，
]，
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是[0，
]．
（3）由（2）的结论，可知函数f（x）在[0，
]上是增函数，
∵0＜
＜
＜
，∴f（
）＜f（
）．
| 1 |
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| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴函数f（x）的周期T=
| 2π | ||
|
又∵sin(
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴f(x)=2sin(
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）令
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵函数y=sinz的单调递增区间[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴由-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解之得-
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
设A=[0，2π]，B=﹛x|-
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
取k=0，得B=[-
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是[0，
| π |
| 3 |
（3）由（2）的结论，可知函数f（x）在[0，
| π |
| 3 |
∵0＜
| π |
| 7 |
| π |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 7 |
| π |
| 5 |
点评：本题给出正弦型三角函数，求函数的周期与值域，并求在[0，2π]上的单调增区间．着重考查了三角函数的周期公式、三角函数的值域与单调性及其应用等知识，属于中档题．
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