Question

已知ω＞0，向量图象上相邻的两条对称轴的距离是．
（I）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出f（x）解析式，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是，得到周期为π，进而求出ω的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间[-+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即可求出f（x）的递增区间；
（Ⅱ）由第一问确定出的函数解析式，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最小值与最大值，以及相应x的值．
解答：解：（I）∵=（1，2cosωx），=（sin2ωx，-cosωx），
∴f（x）=•=sin2ωx-2cos²ωx=sin2ωx-（1+cos2ωx）=sin2ωx-cos2ωx-1=2sin（2ωx-）-1，
∵f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是，即周期T=π，∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-）-1，
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z），解得：-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）由（I）f（x）=2sin（2x-）-1
∵x∈[，]，∴2x-∈[，]，
∴当2x-=，即x=时，f（x）取得最小值0；当2x-=，即x=时，f（x）取得最大值1．
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．