Question

已知直线l交抛物线C：y²=2px（p＞0）于A，B两点，且∠AOB=90°，其中，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，2）．
（I）求抛物线C的方程；
（II）求点B的坐标．

Answer 1

分析：（I）因为点A（1，2）在抛物线y²=2px上，将点的坐标代入方程即可求出p值，从而得到抛物线C的方程；
（II）设点B的坐标为（x₀，y₀），利用垂直关系得出B点坐标的一个关系式，再与抛物线的方程联立方程，解出B的坐标即得．

解答：解：（I）因为点A（1，2）在抛物线y²=2px上，
所以2²=2p，-------------（2分）
解得p=2，-------------（3分）
故抛物线C的方程为y²=4x．-------------（4分）
（II）设点B的坐标为（x₀，y₀），由题意可知x_0≠0，
直线OA的斜率k_OA=2，直线OB的斜率k_OB=

y0

x0

，
因为∠AOB=90°，所以k_OA•k_OB=

2y0

x0

=-1，-------------（6分）
又因为点B（x₀，y₀）在抛物线y²=4x上，
所以y₀²=4x₀，-------------（7分）
联立

y 2 0 =4x0 2y0=-x0

 解得

x0=16 y0=-8

或 

x0=0 y0=0

（舍），-------------（9分）
所以点B的坐标为（16，-8）．-------------（10分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，两直线垂直的性质，属于基础题．