题目内容

设椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上焦点是F1，过点P（3，4）和F1作直线PF1交椭圆于A、B两点，已知A（
1
3
，
4
3
）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．
（1）由A（
1
3
，
4
3
）和P（3，4）得直线PF1的方程为：y=x+1…（1分）
令x=0，得y=1，即c=1                                          …（2分）
椭圆E的焦点为F1（0，1）、F2（0，-1），
由椭圆的定义可知2a=|AF1|+|AF2|=
(
1
3
)2+(
4
3
-1)2
+
(
1
3
)2+(
4
3
+1)2
=2
2
…（4分）
∴a=
2
，b=1…（5分）
椭圆E的方程为
y2
2
+x2=1…（6分）
（2）设与直线PF1平行的直线l：y=x+m…（7分），
由
y2
2
+x2=1
y=x+m
，消去y得3x2+2mx+m2-2=0…（8分）
△=（2m）2-4×3×（m2-2）=0，
即m2=3，m=±
3
…（9分）
要使点C到直线PF1的距离最远，
则直线L要在直线PF1的下方，所以m=-
3
…（10分）
此时直线l与椭圆E的切点坐标为(
3
3
，-
2
3
3
)，
故C(
3
3
，-
2
3
3
)为所求．   …（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知a＞b＞0，F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，
PF
与x轴平行，
PF
=
a
4
，设
A（x1，y1），B（x2，y2），
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，
m
•
n
=0
（I ）求椭圆E的离心率
（II）如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，直线y=kx-3经过A、B两点，求k2的值．
已知a＞b＞0F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，
PF
与x轴平行，
PF
=
a
4
，设A（x1，y1），B（x2，y2），
i
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，
i
⊥
n
原点O与A、B两点构成的△AOB的面积为S
（I ）求椭圆E的离心率
（II）设椭圆E上的点与椭圆£的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，S是否为定值？如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ） 直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．
（2012•烟台二模）设椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上焦点是F1，过点P（3，4）和F1作直线PF1交椭圆于A、B两点，已知A（
1
3
，
4
3
）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．

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