Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，数列{b_n}满足bn=(

1

2

)a n
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）求证：不论n取何正整数，不等式a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜

10

9

恒成立．

Answer 1

分析：（1）根据题意，算出当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n-1，且n=1时a₁=S₁=1也符合通项．由此可得{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）得b_n=(

1

2

)2n-1，证出{b_n}构成首项为

1

2

、公比q=

1

4

的等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可算出数列{b_n}的前n项和T_n的表达式；
（3）设a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S，利用{a_n}、{b_n}的表达式并结合错位相减法算出S=

10

9

-

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）
而

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）＞0对任意n∈N^*成立，由此可得S＜

10

9

对任意n∈N^*恒成立，即不论n取何正整数，不等式a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜

10

9

恒成立．

解答：解：（1）由已知S_n=n²，得
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
当n=1时，a₁=S₁=2×1-1=1也成立
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1；
（2）由（1）得bn=(

1

2

)a n=(

1

2

)2n-1
∵

bn

bn-1

=

( 1 2 )2n-1

( 1 2 )2(n-1)-1

=

1

4

，
∴{b_n}构成首项为(

1

2

)1=

1

2

，公比q=

1

4

的等比数列
因此数列{b_n}的前n项和T_n=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

2

3

(1-

1

4n

)；
（3）设a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S
即S=1×

1

2

+3×

1

23

+…+（2n-1）×

1

22n-1

…①
两边都乘以

1

4

，得

1

4

S=1×

1

23

+3×

1

25

+…+（2n-3）×

1

22n-1

+（2n-1）×

1

22n+1

…②
①-②，得

3

4

S=

1

2

+2（

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

）-

2n-1

22n+1

=

1

2

+

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

2n-1

22n+1

=

1

2

+

1

3

（1-

1

4n-1

）-

2n-1

22n+1

=

5

6

-

1

3×4n-1

-

2n-1

22n+1

∴S=

10

9

-

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）
∵对任意n∈N^*，

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）＞0，∴

10

9

-

4

3

（

1

3×4n-1

+

2n-1

22n+1

）＜

10

9

对任意n∈N^*恒成立，
即不论n取何正整数，不等式a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜

10

9

恒成立．

点评：本题着重考查了等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的通项与求和、利用错位相减法求等差等比对应项相乘得到数列的和、不等式恒成立的讨论等知识，属于中档题．