Question

已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点F的坐标为（3，0），直线l：x+2y-2=0交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M（1，

1

2

），
（1）求椭圆的方程；
（2）动点N满足

NA

•

NB

=0，求动点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法及线段AB中点M(1，

1

2

)，可得m=4n，与m-n=9联立，即可得到椭圆的方程；
（2）由

x2

12

+

y2

3

=1，x+2y=2，消元求出A(1-

5

，

1+ 5

2

)，因为

NA

•

NB

=0，所以动点N的轨迹是以M为圆心，|AB|为直径的圆，由此可得N的轨迹方程．

解答：解：（1）由题意设椭圆方程为

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

m

+

y12

n

=1①，

x22

m

+

y22

n

=1②
①-②，可得

(x1+x2)(x1-x2)

m

=-

(y1+y2)(y1-y2)

n

因为线段AB中点M(1，

1

2

)，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=1
所以

-n(x1+x2)

m(y1+y2)

=kAB=-

1

2

所以m=4n，
因为m-n=9，所以m=12，n=3
所以椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1（ 6分）
（2）由

x2

12

+

y2

3

=1，x+2y=2，消元可得y²-y-1=0，则：A(1-

5

，

1+ 5

2

)
因为

NA

•

NB

=0，所以动点N的轨迹是以M为圆心，|AB|为直径的圆
所以r2=|AM|2=(

5

)2+(

1

2

-

1+ 5

2

)2=

25

4

，M(1，

1

2

)
所以N的轨迹方程为(x-1)2+(x-

1

2

)2=

25

4

（6分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定圆的圆心与半径．