Question

（08年全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）当时，，

所以函数在区间是增函数．

（Ⅱ）当时，．

又由（Ⅰ）及在处连续知，

因此，当时，．　　　　　①

下面用数学归纳法证明：．　　　　　　②

（）由，，应用式①得．

即当时，不等式②成立．

（）假设当时，不等式②成立，即成立．

则由①可的得，即，

故当时，不等式②也成立．

综合（）、（）证得：恒成立．

 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，逐项递增，故若存在正整数，使得，则

．

否则，若，则由知，

　　　．．．．．．．．．．．．．．③

．

由③知，

于是　

^．