Question

11．已知函数f（x）=3-x²+2lnx，数列{a_n}满足：$\frac{3}{4}$＜a₁＜1，2${\;}^{{a}_{n+1}}$=f（a_n）（n∈N^*）（$\frac{37}{16}$+2ln3-4ln2＞2${\;}^{\frac{3}{4}}$）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：$\frac{3}{4}$＜a_n＜1．

Answer 1

分析 （1）对原函数求导数，然后在定义域内解不等式即可，然后写出单调区间；
（2）结合（1）的结论，先由$\frac{3}{4}＜{a}_{1}＜1$结合已知条件得到a₂的范围，以此类推即可求证$\frac{3}{4}{＜a}_{n}＜1$．

解答 解（1）易知函数的定义为（0，+∞）．
由已知得$f′（x）=-2x+\frac{2}{x}=\frac{-2（x+1）（x-1）}{x}$．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间（0，1）上为增函数，在[1，+∞）上为减函数．
（2）由（1）可知函数f（x）在（$\frac{3}{4}$，1）上为增函数，因为${a}_{1}∈（\frac{3}{4}，1）$．
因为2${\;}^{{a}_{n+1}}$=f（a_n）（n∈N^*）．
所以$f（\frac{3}{4}）＜f（{a}_{1}）＜f（1）$，即$\frac{39}{16}+2ln3-4ln2＜{2}^{{a}_{2}}＜{2}^{1}$，又因为$\frac{39}{16}$+2ln3-4ln2＞2${\;}^{\frac{3}{4}}$．
所以${2}^{\frac{3}{4}}＜{2}^{{a}_{2}}＜{2}^{1}$，所以$\frac{3}{4}＜{a}_{2}＜1$，
假设$\frac{3}{4}＜{a}_{n}＜1$，则$\frac{39}{16}+2ln3-4ln2＜f（{a}_{n}）＜2$，结合$\frac{39}{16}$+2ln3-4ln2＞2${\;}^{\frac{3}{4}}$．
所以${2}^{\frac{3}{4}}＜{2}^{{a}_{n+1}}＜2$，所以$\frac{3}{4}＜{a}_{n+1}＜1$．
所以对任意的n∈N^*都有$\frac{3}{4}＜{a}_{n}＜1$．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性的方法，注意定义域优先的原则．第二问证明利用了数学归纳法的推理方法．