Question

（1）对于数列{a_n}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N^*，均有|a_n|≤T，则称{a_n}为有界数列．以下数列{a_n}为有界数列的是    ；（写出满足条件的所有序号）
①a_n=n-2②③
（2）数列{a_n}为有界数列，且满足a_n+1=-a_n²+2a_n，a₁=t（t＞0），则实数t的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）①a_n=n-2，|a_n|=|n-2|≥0，n＞2时数列单调递增，不存在实数T满足|a_n|≤T
②＞0且数列单调递减，则，故存在T=
③可得＞0单调递减的数列，a_n≤a₁=1，存在T=1
（2）易知，a_n+1=-（a_n-1）²+1由此得通项，由有界数列定义知，|t-1|≤1．结合t＞0，可求t的范围
解答：解：（1）①a_n=n-2，|a_n|=|n-2|≥0，不存在实数T满足|a_n|≤T，①错误
②＞0且数列单调递减，则，则T=时，，②正确
③可得＞0单调递减的数列，a_n≤a₁=1，T=1时，|a_n|≤1，③正确
（2）∵a_n+1=-（a_n-1）²+1≤1
∴1-a_n+1=（1-a_n）²∴lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即
由等比数列的通项公式可得，
由有界数列定义知，|t-1|≤1．又t＞0，故t的取值范围是0＜t≤2．
故答案为：②③；0＜t≤2
点评：本题主要考查了数列有界性的应用，实质是利用数列的单调性的定义求解数列的范围，解t的范围的关键是要求出数列的通项公式