Question

数列{a_n}的前n项和为s_n，S_n+a_n=-n²-n+1（n∈N^﹡）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n+a_n=-n²-n+1知，n=1时可求得a₁；当n≥2时，有a_n-1+S_n-1=-（n-1）²-（n-1）+1，两式相减可求得b_n=b_n-1（n≥2），利用等比数列的定义可证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=，T_n=++++…++，利用错位相减法即可求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）因为S_n+a_n=-n²-n+1，
所以①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=-，…（1分）
②当n≥2时，a_n-1+S_n-1=-（n-1）²-（n-1）+1，…（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，…（4分）
所以b_n=b_n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=，…（5分）
所以数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列，
所以b_n=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得nb_n=．
所以T_n=++++…++①，
2T_n=1++++…++②，…（8分）
②-①得：T_n=1+++…+-…（10分）
=-
=2-．…（12分）
点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，突出考查错位相减法求和的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．