题目内容

已知双曲线
x2
4
-
y2
21
=1，F1，F2分别为它的左、右焦点，P为双曲线上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则△PF1F2的面积为
15
7
15
7
．
分析：由题意可知|F1F2|=10，从而可得|PF1|+|PF2|=20，结合双曲线的定义可求得|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理可求一角的余弦，继而可得该角的正弦，由三角形的面积公式可得△PF1F2的面积．
解答：解：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|-|PF2|=4，①
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，|F1F2|=10，
∴|PF1|+|PF2|=20，②
由①②可得|PF1|=12，|PF2|=8．
∴由余弦定理得：cosF1PF2=
122+82-102
2×12×8
=
9
16
，
∴sinF1PF2=
1-(
9
16
)2
=
5
7
16
．
∴S△PF1F2=
1
2
|PF1||PF2|sinF1PF2
=
1
2
×12×8×
5
7
16

=15
7
．
故答案为：15
7
．
点评：本题考查等差数列的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查分析与转化运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出下列四个结论：
①当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2=
4
3
y；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是
x2
5
-
y2
20
=1；
③抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-
1
4a
；
④已知双曲线
x2
4
+
y2
m
=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）．
其中所有正确结论的个数是（　　）
已知双曲线
x2
4
-
y2
a
=1的实轴为A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1，且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为
5
5
，则a=
1
1
．
（2008•佛山一模）已知双曲线
x2
4
-y2=1，则其渐近线方程为
y=±
1
2
x
y=±
1
2
x
，离心率为
5
2
5
2
．
（2011•焦作一模）已知双曲线
x2
4
-
y2
12
=1的离心率为e，焦点为F的抛物线y2=2px与直线y=k（x-
p
2
）交于A、B两点，且
|AF|
|FB|
=e，则k的值为
+
.
2
2
+
.
2
2
．
给出下列四个结论：
①若α、β为锐角，tan（α+β）=-3，tanβ=
1
2
，则α+2β=
3π
4
；
②在△ABC中，若
AB
•
BC
＞0，则△ABC一定是钝角三角形；
③已知双曲线
x2
4
+
y2
m
=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）；
④当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是x2=
4
3
y．其中所有正确结论的个数是（　　）

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