Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与有且只有一个公共点，求的值；

（2）求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）注意到函数的定义域为，，.

所以，在切点处的切线的斜率为.

因此，切线方程为.

因为切线与曲线有唯一的公共点，

所以，方程有且只有一个实数解.

显然，是方程的一个解.

令. 则.

当时，（只有时等号成立），

于是，在上单调递增，即是方程唯一的实数解.

当时，由，得，.

在区间上，，在区间上，.

所以，函数在处有极大值，且.

而当时，，因此，在内也有一个解，矛盾.

综上，得.

（2）注意到.

故. ①

因为，且对称轴为，

，

所以，方程在内有两个不同实根、，即式①的解集为.

故函数的单调递减区间为.

则.

又因为，所以，.

从而，函数的递减区间长度的取值范围为.